Matematica?!?

[Edwardbloom]

RRRagazzi, so che questo non è un forum di matematica, ma siccome è il luogo con la più alta concentrazione di genii che io conosca , spero che qualcuno possa aiutarmi:

Ho un problema con un teorema che dovrei dimostrare, Il teorema è il seguente:

"Se S è un insieme numerabile, il numero cardinale dell'insieme Fs={x | x ⊆ S e x è un insieme finito} è Aleph-0"

Il che equivale a dire, mi sembra di capire, che devo dimostrare che l'insieme che contiene tutti i sottoinsiemi finiti di un insieme numerabile, è numerabile anch'esso. Come potrei dimostrarlo nella maniera più semplice possibile?

So che alla fine devo arrivare alla conclusione che |Fs|≥ |aleph-0| ;

che |S| ≥ |Fs|;

E di conseguenza che |Fs|=|aleph-0|

Ho pensato che i sottoinsiemi finiti di un insieme numerabile saranno almeno aleph-0, in quanto contengono almeno tutti i singoletti dell'insieme, più tutte le coppie, triple, ecc ecc, n-uple. Questo basta a dimostrare che

|Fs| ≥ |aleph-0| ?

Non so invece come muovermi per la seconda parte...

[Voyant86]

Chiedo ai moderatori di essere bannato da questo topic, se mai mi passasse per il gulliver di entrarvi.

Scusa Ed, me ne vo' subito.

[Edwardbloom]

Chiedo ai moderatori di essere bannato da questo topic, se mai mi passasse per il gulliver di entrarvi.

Scusa Ed, me ne vo' subito.

E quanto ti capisco, e quanto vorrei poter fare lo stesso...

[pandroid]

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Cantor

Edit: anzi no, era un altro teorema, che ora non riesco a ricordare; poi controllo sul libro di Analisi.

[Edwardbloom]

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Cantor

Edit: anzi no, era un altro teorema, che ora non riesco a ricordare; poi controllo sul libro di Analisi.

No, quello lì è per sottoinsiemi in generale, questo teorema parla di sottoinsiemi finiti...

Epperò speravo proprio nel tuo arrivo, ouh yeah.

[jeppoloman]

Allora, mi sento uno sfigato atroce, perchè era un paio di mesi che non passavo da scatter e la prima cosa che leggo e a cui rispondo al mio ritorno è questo thread!

Comunque, sono cose che ho fatto millenni fa, potrei sbagliarmi, PERO'...

Il tuo ragionamento va bene, ma non riesco neanch'io a trovare un modo per dimostrare la seconda disuguaglianza, quindi te ne propongo uno alternativo, spero sia corretto, altrimenti spero che acm mi corregga.

Puoi risolverlo in modo simile a come si può dimostrare la numerabilità dell'insieme Q.

Quindi leggi qua:

http://www.vialattea.net/pagine/infinito/transfiniti.htm

Ti crei anche in questo caso una tabella simile in questo modo:

- Inserisci un singoletto:

{1}

- se non puoi combinarlo con altri singoletti ne inserisci un altro:

{1} {2}

- a questo punto puoi fare la coppia dei 2! Le coppie le inserisci in seconda fila:

{1} {2}

{1,2}

- non puoi fare altre combinazioni, metti un altro singoletto:

{1} {2} {3}

- puoi inserire 2 coppie ed un terno. I terni li metti in terza fila:

{1} {2} {3}

{1,2} {1,3} {2,3}

{1,2,3}

- vai avanti così, ogni volta che inserisci un singoletto metti tutte le possibili combinazioni che questo crea, mettendo le coppie in seconda riga, i terni in terza, le quaterne in quarta, le n-uple in n-esima.

-A sto punto hai la tua tabella da andare a leggere con le freccette, creando così la tua funzione biiettiva, infatti ad ogni numero naturale corrisponde un insieme e viceversa.

Cioè, per spiegarmi meglio:

1 ---> {1}

2 ---> {2}

3 ---> {1,2}

4 ---> {1,2,3}

5 ---> {1,3}

6 ---> {3}

.

.

.

A me sembra una dimostrazione senza errori, non posso assicurartelo che sia corretta ecco. Se da questa dimostrazione dipende la tua vita, non fidarti insomma. Tra l'altro, rileggendo, mi sono spiegato con la chiarezza di un gibbone, ma vabbeh.

Però sono un nerd schifoso solo per aver pensato a sta roba per tutta la cena, ecco, adesso mi odio, grazie Ed!

[acm1989]

Senza cercare su internet, ho un'idea.

(€= appartenenza, e €/ non appartenenza; non mi va di sbattermi a cercare il simbolo su google )

Allora, proviamo a dimostrare le due implicazioni.

Intanto cominciamo con il dire che, poiché S è numerabile, possiamo istituire una biezione f con N. Dunque S = {f(n)| n € N}

La prima è S ⊆ Fs

Questo è ovvio, perché Fs = {x| x ⊆ S è un insieme finito} contiene in particolari tutti i naturali. Ogni n € N infatti può essere visto come un singoletto di lunghezza chiaramente finita. Dunque N ⊆ Fs, e quindi S⊆ Fs

L'altra implicazione, ovvero Fs ⊆ S

Per prima cosa verifichiamo che, se A, B insiemi, A ⊆ B sse A ⊆ P(B )

il => è banale (se A ⊆ B sarà contenuto anche in P(B ), perché questo contiene B )

il <= ora. Se A ⊆ P(B ), allora A ⊆ B. Vero, in quanto P(B ) è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di B

Ora, noi sappiamo perciò che Fs ⊆ S sse Fs ⊆ P(S).

Ma Fs, per definizione di Fs, è proprio un sottoinsieme (proprio) di P(S).

[Videotapina]

RRRagazzi, so che questo non è un forum di matematica, ma siccome è il luogo con la più alta concentrazione di genii che io conosca , spero che qualcuno possa aiutarmi:

Ho un problema con un teorema che dovrei dimostrare, Il teorema è il seguente:

"Se S è un insieme numerabile, il numero cardinale dell'insieme Fs={x | x ⊆ S e x è un insieme finito} è Aleph-0"

Il che equivale a dire, mi sembra di capire, che devo dimostrare che l'insieme che contiene tutti i sottoinsiemi finiti di un insieme numerabile, è numerabile anch'esso. Come potrei dimostrarlo nella maniera più semplice possibile?

So che alla fine devo arrivare alla conclusione che |Fs|≥ |aleph-0| ;

che |S| ≥ |Fs|;

E di conseguenza che |Fs|=|aleph-0|

Ho pensato che i sottoinsiemi finiti di un insieme numerabile saranno almeno aleph-0, in quanto contengono almeno tutti i singoletti dell'insieme, più tutte le coppie, triple, ecc ecc, n-uple. Questo basta a dimostrare che

|Fs| ≥ |aleph-0| ?

Non so invece come muovermi per la seconda parte...

ho fatto un anno di matematica.

ho studiato questo teorema in algebra, ma ricordo ben poco della dimostrazione. domani controllo un pò sugli appunti che ho

[Korg]

Chiedo ai moderatori di essere bannato da questo topic, se mai mi passasse per il gulliver di entrarvi.

Scusa Ed, me ne vo' subito.

Mi associo e faccio lo stesso chiedendo venia per l'intromissione!

http://www.youtube.com/watch?v=lOIsVPsGU6g

[VALJAHEAD]

Mi fate paura!

Credo sia più facile per me decodificare geroglifici egiziani piuttosto che questa roba qui.

Mi autobanno anche io e me ne vo.

[myra_lee]

Mi fate paura!

Credo sia più facile per me decodificare geroglifici egiziani piuttosto che questa roba qui.

Mi autobanno anche io e me ne vo.

Ho provato a scorrere questo thread e mi è venuto il capogiro.

Orbene, opportunamente rifuggo.

- Esce dalla scena -

[pandroid]

A dire il vero sono cose relativamente facili e che si studiano in meno tempo del diritto privato, per dire.

[VALJAHEAD]

A dire il vero sono cose relativamente facili e che si studiano in meno tempo del diritto privato, per dire.

Boh, secondo me dipende dalla forma mentis che ognuno di noi ha. Quello che per te è semplice per me è difficilissimo da capire, te lo dice una che ha sempre avuto grossi problemi con la matematica. Mettici anche che proprio non mi piace quindi non mi ci sono mai applicata più di tanto.

Tra le due sceglierei diritto privato 1000 volte.

[principles]

Tra le due sceglierei diritto privato 1000 volte.

Anch'io odio la matematica, ma perchè non mi ci voglio applicare...

e fra le due sceglierei matematica...diritto brrrrr....almeno se mi ci applico la matematica la capisco, e traggo pure soddisfazione quando la capisco ( si come un bambino ) invece il diritto...mah! Non trovo alcuna soddisfazione, lo trovo noioso...e i voti che ho negli esami di diritto sono uno specchio fedele di ciò che penso

[pandroid]

La differenza base è questa: Analisi I, se proprio vai male, in un anno di studio la fai in 500/1000 ore, per Diritto, se sei bravo, te ne serve almeno il triplo.

[myra_lee]

La differenza base è questa: Analisi I, se proprio vai male, in un anno di studio la fai in 500/1000 ore, per Diritto, se sei bravo, te ne serve almeno il triplo.

A parte che le tue esperienze non valgono come regola generale, etc.

[pandroid]

A parte che le tue esperienze non valgono come regola generale, etc.

Io se ci ho passato più di 70 ore su Analisi è già tanto.

[Edwardbloom]

Intanto grazie a tutti per l'aiuto.

Sviluppando l'idea non so se ci ho preso:

Fs è l'insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di S che abbiano cardinalità minore o uguale a n.

Consideriamo tutti i sottoinsiemi che abbiano cardinalità 1, e chiamiamoli P1. Di questi ce ne saranno almeno aleph-0, no? perchè ce n'è uno per ogni singoletto di S, e S è numerabile. Di sottoinsiemi P2, con cardinalità 2, ce ne saranno Aleph-0 alla seconda (anche se poi sappiamo che ala fine sono sempre aleph-0), di sottoinsiemi P3 ce ne sono Aleph-0 alla terza etc etc.

Edit: Sbagliato...

Quindi Fs è composto dall'unione di tutti i Pn, per n€ N, e quindi la sua cardinalità è, per il momento supposta maggiore o uguale ad aleph-0,

(cardinalità di)Fs= Aleph0+aleph0 elevato a 1+aleph0 el.2+ ecc ecc + aleph0 elevato a n.

Aleph0 ≤ Fs.

Ma l'insieme S invece ha una cardinalità sicuramente maggiore di quella di Fs, in quanto i suoi sottoinsiemi possono pure essere infiniti, potendo includere le ripetizioni, e quindi

Fs ≤ S

Combinando la cosa abbiamo

Aleph0 ≤ Fs ≤ S

E dunque Fs=aleph0.

Ha senso?

Edit:

Tengo a rimarcare una cosa: Io Sono Uno Studente Di Filosofia, Cristo.

[acm1989]

.

Quindi Fs è composto dall'unione di tutti i Pn, per n€ N, e quindi la sua cardinalità è, per il momento supposta maggiore o uguale ad aleph-0,

(cardinalità di)Fs= Aleph0+aleph0 elevato a 1+aleph0 el.2+ ecc ecc + aleph0 elevato a n.

Aleph0 ≤ Fs.

Numerabile elevato alla n è numerabile.

Unione di numerabile è numerabile.

Nel dubbio, che la Diagonale di Cantor sia con te

[Videotapina]

Numerabile elevato alla n è numerabile.

Unione di numerabile è numerabile.

Nel dubbio, che la Diagonale di Cantor sia con te

si , ma quelle derivano da quello ch elui deve dimostrare

io farei così:

essendo S numerabile, esiste un'applicazione biettiva tra esso e l'insieme dei numeri naturali.

sai che F(S) è una sua parte, quindi contiene al più lo stesso numero di elementi di S. si dovrebbe costruire una funziona biunivoca tra F(S) ed S. è banale che F(S) sia numerabile.

se supponiamo che S contenga solo il vettore nullo, o algebricamente parlando è vuoto, ha cardinalità zero, quindi F(S) ha cardinalità 0.

bisognerebbe dimostrare che per n diverso da 0, accade lo stesso, ma non so come.

sid ovrebbe costruire un'applicazione biettiva tra F(S) ed S

[acm1989]

si , ma quelle derivano da quello ch elui deve dimostrare

io farei così:

essendo S numerabile, esiste un'applicazione biettiva tra esso e l'insieme dei numeri naturali.

sai che F(S) è una sua parte, quindi contiene al più lo stesso numero di elementi di S. si dovrebbe costruire una funziona biunivoca tra F(S) ed S. è banale che F(S) sia numerabile.

se supponiamo che S contenga solo il vettore nullo, o algebricamente parlando è vuoto, ha cardinalità zero, quindi F(S) ha cardinalità 0.

bisognerebbe dimostrare che per n diverso da 0, accade lo stesso, ma non so come.

sid ovrebbe costruire un'applicazione biettiva tra F(S) ed S

No, l'uso della diagonale di Cantor è indipendente da questo.

Sotto 1 metti tutti i singoletti, sotto 2 tutte le coppie, e così via. Procedimento diagonale, e ottieni la biezione.

Altrimenti guarda la pagina indietro.

[Videotapina]

No, l'uso della diagonale di Cantor è indipendente da questo.

Sotto 1 metti tutti i singoletti, sotto 2 tutte le coppie, e così via. Procedimento diagonale, e ottieni la biezione.

Altrimenti guarda la pagina indietro.

forse sono abituata a ragionare matematicamente

la diagonale di cantor l'ho usata solo per alcune dimostrazioni in analisi 1

[acm1989]

forse sono abituata a ragionare matematicamente

la diagonale di cantor l'ho usata solo per alcune dimostrazioni in analisi 1

è perfettamente rigorosa, e si usa in un sacco di cose, eh!

(in logica ad esempio è un continuo! )

[Videotapina]

è perfettamente rigorosa, e si usa in un sacco di cose, eh!

(in logica ad esempio è un continuo! )

sisi in logica si, ricordo

[Edwardbloom]

La biezione è quando hai due funzioni 1 a 1 inversa una dell'altra?